Question

已知＝(cosx＋sinx，sinx)，＝(cosx－sinx，2cosx)，

（Ⅰ）求证：向量与向量不可能平行；（Ⅱ）若f(x)＝·，且x∈[－,]时，求函数f(x)的最大值及最小值

 

Answer 1

【答案】

x＝时，f(x)有最大值；

当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)有最小值－1．

 

【解析】解：（Ⅰ）假设∥，则2cosx(cosx＋sinx)－sinx(cosx－sinx)＝0，

∴2cos²x＋sinxcosx＋sin²x＝0，2·＋sin2x＋＝0，即sin2x＋cos2x＝－3，

∴(sin2x＋)＝－3，与|(sin2x＋)|≤矛盾，故向量与向量不可能平行．

（Ⅱ）∵f(x)＝·＝(cosx＋sinx)·(cosx－sinx)＋sinx·2cosx＝cos²x－sin²x＋2sinxcosx＝cos2x＋sin2x＝(cos2x＋sin2x)＝(sin2x＋)，

∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤，∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)有最大值；

当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)有最小值－1．