Question

（2009•河北区二模）如图所示，桶1中的水按一定规律流入桶2中，已知开始时桶1中有a升水，桶2是空的，t分钟后桶1中剩余的水符合指数衰减曲线y1=ae-nt（其中n是常数，e是自对数的底数）．假设在经过5分钟时，桶1和桶2中的水恰好相等．求：
（Ⅰ）桶2中的水y₂与时间t的函数关系式；
（Ⅱ）再过多少分钟，桶1中的水是

a

8

？

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据桶2中的水是从桶1中流出的水，而桶1开始的水是a，满足y1=ae-nt，可得桶2中的水与t的函数关系式；
（Ⅱ）利用经过5分钟时，桶1和桶2中的水恰好相等，求出桶1中剩余的水的函数解析式，从而进一步可得方程，即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）∵桶2中的水是从桶1中流出的水，而桶1开始的水是a，又满足y1=ae-nt，
∴桶2中的水与t的函数关系式是y2=a-ae-nt．  …（4分）
（Ⅱ）∵t=5时，y₁=y₂，∴ae^-5n=a-ae^-5n
解得2e^-5n=1，n=

1

5

ln2．
∴y1=ae

ln2

5

t．…（8分）
当y1=

a

8

时，有

a

8

=ae

ln2

5

t，解得t=15分钟．
所以，再过10分钟桶1中的水是

a

8

．  …（12分）

点评：本题考查函数模型的建立，考查学生利用数学知识解决实际问题，属于中档题．