Question

设平面上A、B两点坐标分别是(-cos

α

2

  ，sin

α

2

)   ，(cos

3α

2

  ，sin

3α

2

) .  α∈[0，

π

2

]，
（1）求|

AB

|的最大值和最小值；
（2）设函数f(x)=

AB

2+4a|

AB

|-3，a∈R，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得

AB

的坐标，再根据向量的模的定义求得|

AB

|2=2+2cos2α．再由α∈[0，

π

2

]，可得cos2α∈[-1，1]，由此可得|

AB

|取得最大值和最小值．
（2）由于函数 f（x）=4（cosα+a）²-3-4a²，α∈[0，

π

2

]，分当a＞0时、当-1≤a≤0时、当a＜-1时三种情况，分别利用二次函数的性质求得f（x）的最小值．

解答：解：（1）由题意可得

AB

=（cos

3α

2

+cos

α

2

，sin

3α

2

-sin

α

2

），
∴|

AB

|2=(cos

3α

2

+coa

α

2

)2+(sin

3α

2

-sin

α

2

)2=2+2cos2α，由α∈[0，

π

2

]，可得cos2α∈[-1，1]，
∴当cos2α=-1时，|

AB

|取得最小值为0，当cos2α=1时，|

AB

|取得最大值为2．
（2）由于函数f（x）=|

AB

|2+4a|

AB

|-3=2+2cos2α+4a

2+2cos2α

，α∈[0，

π

2

]，
∴f（x）=4cos²α+8acosα-3=4（cosα+a）²-3-4a²．
当a＞0时，则cosα=0时，函数f（x）取得最小值为-3；
当-1≤a≤0时，则cosα=a时，函数f（x）取得最小值为-3-4a²；
当a＜-1时，则cosα=1时，f（x）取得最小值为1+8a．

点评：本题主要考查求向量的模，三角函数的恒等变换、二次函数在闭区间上的最值，属于中档题．