Question

是否存在实数λ，使函数f(x)＝x⁴＋(2－λ)x²＋2－λ在区间(－∞，－2]上是减函数，而在区间[－1，0)上是增函数？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

　　分析：已知函数在规定区间上的单调性，运用定义可得出λ与所设的x₁、x₂的不等关系式，再根据变量x₁、x₂的两个范围，求出λ的范围，由两个已知条件求出λ的两个范围，若有公共部分则λ存在，若无公共部分，则λ不存在．

　　解：因为f(x₁)－f(x₂)＝x₁⁴－x₂⁴＋(2－λ)(x₁²－x₂²)＝(x₁²－x₂²)(x₁²＋x₂²＋2－λ)．

　　若x₁＜x₂≤－2，则x₁²－x₂²＞0，且x₁²＋x₂²＋2＞4＋4＋2＝10，所以当且仅当λ≤10时，f(x₁)－f(x₂)＞0恒成立，从而f(x)在区间(－∞，－2]上是减函数．

　　若－1≤x₁＜x₂＜0，则x₁²－x₂²＞0，且x₁²＋x₂²＋2＜1＋1＋2＝4，所以当且仅当λ≥4时，f(x₁)－f(x₂)＜0恒成立，从而f(x)在区间[－1，0)上是增函数．

　　综上所述，存在实数λ使f(x)在区间(－∞，－2]上是减函数，而在区间[－1，0)上是增函数，且实数λ的取值范围为[4，10]．

　　点评：本题是一道探索性命题，是一道求函数单调性的逆向问题，定义是解决此类问题的最佳方法．