Question

20．已知函数f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$．
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若对任意的x∈（0，+∞），不等式lnx≤kx²-1恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求导，根据导数和函数单调性的关系即可求出单调区间和极值；
（2）对于恒成立的问题，分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$，x＞0，
∴f′（x）=$\frac{1-1-lnx}{{x}^{2}}$=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，解得x=1，
当x＞1时，f′（x）＜0，函数单调减，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数单调增，
∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）为减函数，
当x=1函数有极大值，极大值为f（1）=1，无极小值；
（2）任意的x∈（0，+∞），不等式lnx≤kx²-1恒成立，
∴k≥$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$在（0，+∞）上恒成立，
设g（x）=$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$，
∴g′（x）=$\frac{-1-2lnx}{{x}^{3}}$，
令g′（x）=0，解得x=$\frac{1}{\sqrt{e}}$，
当x＞$\frac{1}{\sqrt{e}}$时，f′（x）＜0，函数单调减，
当0＜x＜$\frac{1}{\sqrt{e}}$时，f′（x）＞0，函数单调增，
∴g（x）_max=g（$\frac{1}{\sqrt{e}}$）=$\frac{e}{2}$，
∴k≥$\frac{e}{2}$，
∴实数k的取值范围[$\frac{e}{2}$，+∞）．

点评 本题考查了恒成立的问题，熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、等价转化的方法等是解题的关键，属于中档题．