Question

已知f（x）是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈R都有f（x+2）=-f（x），若当x∈[0，2]时，f（x）=lg（x+1），则有

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：由题意求得f（x）是周期等于4的周期函数，画出函数f（x）在一个周期[-2，2]上的图象，根据f（-）=f（），f（）=f（），利用函数的单调性求得
解答：解：函数f（x）对于任意的x∈R都有f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=f（x），故f（x）是周期等于4的周期函数．
∵f（x）是定义在R上的偶函数，x∈[0，2]时，f（x）=lg（x+1），故函数f（x）在一个周期[-2，2]上的图象如图所示：
∴f（x）[-2，0]上是减函数，在[0，2]上是增函数．
再由f（-）=f（），f（）=f（-）=f（-+4）=f（），，∴f（）＜f（1）＜f（），
∴，
故选C．
点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，体现了化归与转化以及数形结合的数学思想，属于中档题．