Question

已知，其中为常数.
（Ⅰ）当函数的图象在点处的切线的斜率为1时，求函数在上的最小值；
（Ⅱ）若函数在上既有极大值又有极小值，求实数的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，过点作函数图象的切线，试问这样的切线有几条？并求这些切线的方程.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．

试题分析：（Ⅰ）首先求的导数，利用导数的几何意义列出方程解这个方程即可得的值，从而得函数的解析式，最后利用求闭区间上函数最值的一般步骤求在上的最小值；
（Ⅱ）先求的导数：，根据已知在上有两不相等的实数根，将问题转化为一元二次方程在上有两不相等的实数根，最后利用根的判别式及韦达定理列不等式组解决问题；（Ⅲ）由已知不一定是切点，需先设切点根据导数的几何意义，求函数在切点处的导函数值，再分（1）切点不与点重合；（2）切点与点重合，两种情况求曲线的切线方程．
试题解析：（Ⅰ）由已知得解得           1分
故由得           2分
随的变化关系如下表：

		↘		↗

                                            3分
于是可得：                          4分
（Ⅱ）                      5分
由题设可得方程有两个不等的正实根，不妨设这两个根为并令则（也可以），解得    8分
（Ⅲ）由（Ⅰ）故
9分
设切点为由于点在函数的图象上，
（1）当切点不与点重合，即当时，
由于切线过点则
化简得即解得（舍去）               12分
（2）当切点与点重合，即当时，则切线的斜率于是切线方程为                                      13分
综上所述，满足条件的切线只有一条，其方程为                 14分
（注：若没有分“点与点重合”讨论，只要过程合理结论正确，本小题只扣1分）