Question

已知f（x）是定义在[﹣e，0）∪（0，e]上的奇函数，当x∈（0，e]时，f（x）=ax+2lnx，（a＜0，a∈R）
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在实数a，使得当x∈[﹣e，0）时，f（x）的最小值是4？如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设x=[﹣e，0），则﹣x∈（0，e]∴f（﹣x）=﹣ax+2ln（﹣x）．
∵f（x）是定义在[﹣e，0）∪（0，e]，上的奇函数，
∴f（x）=﹣f（﹣x）=ax﹣2ln（﹣x）．
故函数f（x）的解析式为：
（2）假设存在实数a，使得当x∈（﹣e，0]时，
f（x）=ax﹣2ln（﹣x）有最小值是3．
∵．
①当时，
由于x∈[﹣e，0），则f'（x）≥0．故函数f（x）=ax﹣2ln（﹣x）是[﹣e，0）上的增函数．
∴f（x）_min=f（﹣e）=﹣ae﹣2=4，解得（舍去）
②当

综上所知，存在实数a=﹣2e，使得当x∈[﹣e，0）时，f（x）最小值4．