Question

(本题满分15分)已知函数．

(Ⅰ)若无极值点，但其导函数有零点，求的值；

(Ⅱ)若有两个极值点，求的取值范围，并证明的极小值小于．

Answer 1

解 (Ⅰ)首先，                                        ---------------1分

                              ---------------3分

有零点而无极值点，表明该零点左右同号，故，且的由此可得                               ----------------6分

（Ⅱ）由题意，有两不同的正根，故.

解得：                                                ----------------8分

设的两根为，不妨设，因为在区间上， ，而在区间上，，故是的极小值点.-------10分

因在区间上是减函数，如能证明则更有                                                                                           ---------------13分

由韦达定理，，

令其中设 ，利用导数容易证明当时单调递减，而，因此，即的极小值                       -------15分

（Ⅱ）另证：实际上，我们可以用反代的方式证明的极值均小于.

由于两个极值点是方程的两个正根，所以反过来，

（用表示的关系式与此相同），这样

即，再证明该式小于是容易的（注意，下略）.