Question

【题目】已知定义在R上的函数，为常数，且是函数的一个极值点．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若函数，，求的单调区间；

（Ⅲ） 过点可作曲线的三条切线，求的取值范围

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）函数的单调增区间为和，单调减区间为；(Ⅲ)．

【解析】

（I）由求得值，同时要检验此时是极值点；

（II）求出，由的正负得函数的单调区间，即由得增区间，由得减区间

（III）设切点为，则切线的斜率为，整理得，此方程有3个根. 为此设，则的极大值大于0，极小值小于0，由此可得的范围．

（Ⅰ），是函数的一个极值点，则

又，函数在两侧的导数异号，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

则，令，得.

随的变化，与的变化如下：

		0		0
		极大值		极小值

所以函数的单调增区间为和，单调减区间为．

(Ⅲ),设切点为，则切线的斜率为

，

整理得，依题意，方程有3个根.

设，则

令，得，则在区间，上单调递增，在区间上单调递减，

因此，解得.所以的取值范围为