Question

【题目】如图，在等腰梯形中， ， ， ，四边形为矩形， ，平面平面，点为线段中点．

（Ⅰ）求异面直线与所成的角的正切值；

（Ⅱ）求证：平面平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】【试题分析】（１）借助异面直线所成角的定义找出角，再运用解三角形的知识求解；（２）依据题设线面垂直＼面面垂直的判定定理推证；（３）借助线面角的定义先找出线面角，再运用解直角三角形求解：

（Ⅰ）解：取的中点，连接， ．

∵四边形为矩形， 为线段中点，

∴且，

∴，

∴为异面直线与所成的角．

在中， ， ，

∴且，

又∵平面 平面，

∴平面，

∴．

在中， ， ．

（Ⅱ）证明：在中， ， ， ，

∴，

又∵平面平面，

∴平面，

∴．

在矩形中，∵， ，

∴，

又∵，

∴平面，

又∵平面，

∴平面平面．　

（Ⅲ）过点作，

由第（Ⅱ）问知平面平面，

∴平面，

∴为直线与平面所成的角.

在中， ， ，

∴，∴，

∴，

∴直线与平面所成角的正弦值为.