Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₂=5，S₅=35．设数列{b_n}满足a_n=log₂b_n．
（1）求数列{b_n}的前n项和T_n；
（2）设G_n=a₁•b₁+a₂•b₂+…+a_n•b_n，求G_n．

Answer 1

分析：（1）由题意得

a1+d=5 5a1+10d=35

，解出a₁，d可得a_n，进而由a_n=log₂b_n可得b_n，易判断{b_n}为等比数列，利用等比数列的求和公式可求得T_n；
（2）利用错位相减法可求得G_n．

解答：解：（1）由题意得

a1+d=5 5a1+10d=35

，解得

a1=3 d=2

，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
由a_n=log₂b_n，得bn=2an=2²ⁿ⁺¹，
∴

bn+1

bn

=

22n+3

22n+1

=4，
∴数列{b_n}是以4为公比，b1=23=8的等比数列，
∴Tn=23+25+…+22n+1=

8(1-4n)

1-4

=

8

3

(4n-1)．     
（2）G_n=3•2³+5•2⁵+…+（2n+1）•2²ⁿ⁺¹，
将上式两端同时乘以4，得4Gn=3•25+5•27+…+(2n-1)•22n+1+（2n+1）•2²ⁿ⁺³，
两式相减，得-3Gn=3•23+（2•2⁵+2•2⁷+…+2•2²ⁿ⁺¹）-（2n+1）•2²ⁿ⁺³
=24+（2⁶+2⁸+…+2²ⁿ⁺²）-（2n+1）•2²ⁿ⁺³
=24+

64(1-4n-1)

1-4

-（2n+1）•2²ⁿ⁺³
=

8-(48n+8)•4n

3

，
∴Gn=

(48n+8)•4n-8

9

．

点评：本题考查等差数列、等比数列的通项公式求和公式，错位相减法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．