题目内容

已知数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时， $数学公式$ ．
（Ⅰ）证明数列{S_n}是一个等差数列；
（Ⅱ）求a_n．

（1）证明：当n=1时，S₁=a₁=1 （2分）
当 n≥2时a_n=S_n-S_n-1=（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$
而 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ≠0
∴ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （4分）
∴数列 $\text{[math]}$ 是一个等差数列（6分）
（2）由（1）得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ S_n=（ $\text{[math]}$ ）²
当n=1时 a₁=S₁当n＞1时（10分）
a_n=S_n-S_n-1= $\text{[math]}$
∴a_n= $\text{[math]}$ （12分）
分析：（1）由n=1时，可得S₁=a₁=1，n≥2时，利用a_n=S_n-S_n-1=（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ 可证得 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即可证明
（2）由（1）可求S_n=（ $\text{[math]}$ ）²，利用n=1时 a₁=S₁，n＞1时a_n=S_n-S_n-1可求
点评：本题主要考查了等差数列的定义在证明中的应用，数列的递推公式a_n= $\text{[math]}$ 的应用是实现数列的和与项转化的关键