题目内容

（2013•许昌三模）已知四面体P-ABC中，PA=PB=4，PC=2，AC=2
5
，PB⊥平面PAC，则四面体P-ABC外接球的体积为
36π
36π
．
分析：由题意算出PA2+PC2=AC2，结合勾股定理的逆定理得AP⊥PC．由PB⊥平面PAC证出PB⊥PA，PA⊥PC，可得PA、PB、PC两两互相垂直．因此以PA、PB、PC为长、宽、高作长方体，该长方体的外接球就是四面体P-ABC的外接球，根据长方体对角线公式算出外接球的直径，从而可得所求外接球的体积．
解答：解：∵PA=4，PC=2，AC=2
5
，
∴Rt△PAC中，PA2+PC2=20=AC2，可得AP⊥PC
又∵PB⊥平面PAC，PA、PC?平面PAC
∴PB⊥PA，PA⊥PC
以PA、PB、PC为长、宽、高，作长方体如图所示
则该长方体的外接球就是四面体P-ABC的外接球
∵长方体的对角线长为
42+42+22
=6
∴长方体外接球的直径2R=6，得R=3
因此，四面体P-ABC的外接球体积为V=
4π
3
R3=36π
故答案为：36π
点评：本题给出三棱锥P-ABC满足的条件，求它的外接球体积．着重考查了勾股定理、长方体的对角线公式和球的体积计算等知识，属于中档题．
练习册系列答案
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3
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a
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3
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=（1，1），θ∈[
π
3
，
2π
3
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a
 在向量
b
向上的投影，则m的最大值是（　　）

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