Question

f（x）定义在R上的偶函数，在区间（-∞，0]上递增，且有f（2a²+a+1）＜f（3a²-2a+1），求a的取值范围．

Answer 1

分析：方法一：先研究函数在[0，+∞）的单调性，再比较2a²+a+1与3a²-2a+1的大小，取值范围看两者是不是在同一个单调区间上，本题比较发现两者在同一个单调区间上，利用单调性直接比较．
方法二：比较两数2a²+a+1与3a²-2a+1的大小，看到两者不在已知单调性的区间上，故利用偶函数的性质把其转化到对称的区间上来比较大小，进而再得到两者的函数值的大小．

解答：解：法1
2a2+a+1=2(a+

1

4

)2+

7

8

≥

7

8

3a2-2a+1=3(a-

1

3

)2+

2

3

≥

2

3

(4分)
f（x）定义在R上的偶函数，在区间（-∞，0]上递增
因此函数f（x）在[0，+∞）上递减（6分）
又f（2a²+a+1）＜f（3a²-2a+1）
2a²+a+1＞3a²-2a+1（10分）
∴a²-3a＜0∴0＜a＜3．（12分）
法2：2a2+a+1=2(a+

1

4

)2+

7

8

≥

7

8

3a2-2a+1=3(a-

1

3

)2+

2

3

≥

2

3

(4分)
又f（x）定义在R上的偶函数，且
f（2a²+a+1）＜f（3a²-2a+1）
∴f（-2a²-a-1）＜f（-3a²+2a-1）（6分）
又f（x）在区间（-∞，0]上递增
∴-2a²-a-1＜-3a²+2a-1（10分）
∴a²-3a＜0∴0＜a＜3．（12分）

点评：考查利用单调性比较函数值的大小，本题中两个数是抽象的数，需要用配方法来确定它们的取值范围，这给作题增加一定的难度，两个方法在利用偶函数的性质上采取的技巧不同，请仔细体会．