Question

已知函数y=f（x）定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=log₂（x+

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）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若M={m|函数g（x）=|f（x）|-m（m∈R）有两个零点}，求集合M．

Answer 1

分析：（1）由函数y=f（x）定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=log₂（x+

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），知x=0时，f（x）=0；x＜0，f（x）=-log2(-x+

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)，由此能求出f（x）．
（2）画出函数y=|f（x）|的图象，由形结合，能求出m的范围．由此能求出集合M．

解答：解：（1）∵函数y=f（x）定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=log₂（x+

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），
∴x=0时，f（x）=0，
x＜0，-f（x）=log2(-x+

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)，即f（x）=-log2(-x+

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)，
∴f（x）=

-log2(-x+ 1 2 )，x＜0 0，x=0 log2(x+ 1 2 )，x＞0

．（6分）
（2）画出函数y=|f（x）|的图象．

∵函数g（x）=|f（x）|-m（m∈R）有两个零点，
∴由图象可得：m≥1．
∴M={m|函数g（x）=|f（x）|-m（m∈R）有两个零点}={m|m≥1}．（6分）

点评：本题考查函数的解析式的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答．