Question

设数列{a_n}是一等差数列，数列{b_n}的前n项和为Sn=

2

3

(bn-1)，若a₂=b₁，a₅=b₂．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）首先求出b₁的值，然后根据等差数列的性质求出等差数列的公差，进而写出数列a_n的通项公式，（2）根据Sn=

2

3

(bn-1)关系式找到数列b_n+1和b_n的关系，求出b_n+1=-2b_n，再根据等比数列求和公式进行求解．

解答：解：（1）∵S1=

2

3

(b1-1)=b1，∴b₁=-2，
又S2=

2

3

(b2-1)=b1+b2=-2+b2，∴b₂=4，∴a₂=-2，a₅=4，（2分）
∵a_n为一等差数列，∴公差d=

a5-a2

3

=

6

3

=2，（4分）
即a_n=-2+（n-2）•2=2n-6．（6分）
（2）∵Sn+1=

2

3

(bn+1-1)①，Sn=

2

3

(bn-1)②，
①-②得Sn+1-Sn=

2

3

(bn+1-bn)=bn+1，∴b_n+1=-2b_n，（9分）
∴数列b_n是一等比数列，公比q=-2，b₁=-2，即b_n=（-2）ⁿ．
∴Sn=

2

3

[(-2)n-1]．（12分）

点评：本题主要考查数列求和的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等差和等比数列的性质，会熟练运用．