Question

【题目】如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．

（1）证明：BD⊥平面PAC；
（2）若PA=1，AD=2，求二面角B﹣PC﹣A的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵PA⊥平面ABCD

∴PA⊥BD

∵PC⊥平面BDE

∴PC⊥BD，又PA∩PC=P

∴BD⊥平面PAC

（2）解：设AC与BD交点为O，连OE

∵PC⊥平面BDE

∴PC⊥平面BOE

∴PC⊥BE

∴∠BEO为二面角B﹣PC﹣A的平面角

∵BD⊥平面PAC

∴BD⊥AC

∴四边形ABCD为正方形，又PA=1，AD=2，可得BD=AC=2 ，PC=3

∴OC=

在△PAC∽△OEC中，

又BD⊥OE，

∴

∴二面角B﹣PC﹣A的平面角的正切值为3

【解析】（1）由题设条件及图知，可先由线面垂直的性质证出PA⊥BD与PC⊥BD，再由线面垂直的判定定理证明线面垂直即可；（2）由图可令AC与BD的交点为O，连接OE，证明出∠BEO为二面角B﹣PC﹣A的平面角，然后在其所在的三角形中解三角形即可求出二面角的正切值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面垂直的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．