Question

函数f（x）的定义域为D，若满足①f（x）在D内是单调函数，②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[-b，-a]，那么y=f（x）叫做对称函数，现有f（x）=-k是对称函数，那么k的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：函数 在定义域（-∞，2]上是减函数，由②可得 f（a）=-a，f（b）=-b，由此推出 a和 b 是方程在（-∞，2]上的两个根．利用换元法，转化为∴k=-t²+t+2=-（t-）²+在[0，+∞）有两个不同实根，解此不等式求得 k 的范围即为所求．
解答：解：由于在（-∞，2]上是减函数，故满足①，
又f（x）在[a，b]上的值域为[-b，-a]，
∴所以a和 b 是关于x的方程在（-∞，2]上有两个不同实根．
令t=，则x=2-t²，t≥0，
∴k=-t²+t+2=-（t-）²+，
∴k的取值范围是，
故答案为：．
点评：本题考查函数的单调性的应用，求函数的值域，体现了转化的数学思想，得到a和 b 是方程在（-∞，2]上的两个根，是解题的难点，属中档题．