题目内容

已知向量
a
=(cosx，sinx)，
b
=(sin2x，1-cos2x)，
c
=(0，1)，x∈(0，π)．
（Ⅰ）向量
a
，
b
是否共线？请说明理由．
（Ⅱ）求函数f(x)=|
b
|-(
a
+
b
)•
c
的最大值．
分析：（Ⅰ）要求
a
与
b
是否共线，只要根据向量共线的坐标表示代入检验即可
（Ⅱ）先求出|
b
|及(
a
+
b
)•
c
，代入整理可得f（x）=-2sin2x+sinx，根据二次函数的性质及sinx∈（0，1]可求函数f（x）的最大值
解答：解：（Ⅰ）
a
与
b
共线．…（1分）
∵cosx•（1-cos2x）-sinx•sin2x=cosx•2sin2x-sinx•2sinx•cosx=0，
∴
a
与
b
共线．…（5分）
（Ⅱ）|
b
|=
sin22x+(1-cos2x)2
=
2(1-cos2x)
=
4sin2x
=2|sinx|，…（7分）
∵x∈（0，π），∴sinx＞0，，∴|
b
|=2sinx．…（8分）
∵
a
+
b
=（cosx+sin2x，sinx+1-cos2x）
∴(
a
+
b
)•
c
=（cosx+sin2x，sinx+1-cos2x）•（0，1）=sinx+1-cos2x=sinx+2sin2x…（10分）
∴f（x）=2sinx-sinx-2sin2x=-2sin2x+sinx=-2( sinx-
1
4
)2+
1
8

∵x∈（0，π）
∴sinx=
1
4
时函数f（x）的最大值
1
8
点评：本题主要考查了向量共线的坐标表示的应用，向量数量积的运算性质与三角函数的基本公式的综合应用，二次函数在闭区间上的最值的求解等知识的综合应用．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）设
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范围．
已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函数f(x)=
a
•
b
+λ（λ为常数）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象的对称轴；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象经过点(
π
4
，0)，求函数y=f（x）在区间[0，
5π
12
]上的取值范围．
已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．
已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函数f(x)=2
a
•
b
-1的图象相邻对称轴间距离为
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．
已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求证：
a
⊥
b
；
（2）设f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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