题目内容

已知函数 $数学公式$ 的值域是[1，3]．
（1）求b，c；
（2）判断函数F（x）=lgf（x）在[-1，1]上的单调性，并予以证明．

解：（1）∵函数 $\text{[math]}$ 的定义域为R
令 $\text{[math]}$ ，则y∈[1，3]
则（2-y）x²+bx+（c-y）=0一定有实根
即b²-4（c-y）（2-y）≥0
即4y²-（8+4c）y+8c-b²≤0
又∵[1，3]
∴1+3= $\text{[math]}$ ，1×3= $\text{[math]}$
解得b=-2，c=2
（2）由（1）得 $\text{[math]}$
∴F（x）=lgf（x）= $\text{[math]}$
任取区间[-1，1]上两个数x₁，x₂且x₁＜x₂
则F（x₁）-F（x₂）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
又外层函数是增函数，故比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小即可
因为 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＞0
即F（x₁）＞F（x₂）
故函数F（x）=lgf（x）在[-1，1]上单调递减
分析：（1）由已知中函数的值域是[1，3]，利用判别式法，我们可以构造出一个关于b，c的方程组，解方程组即可得到b，c的值；
（2）由（1）的结论我们易给出函数F（x）=lgf（x）的解析式，利用作差法，我们可以判断出F（x₁）与F（x₂）的大小，结合函数单调性的定义，我们易判断出函数F（x）=lgf（x）在[-1，1]上的单调性．
点评：本题考查的知识点是函数的单调性的判断与证明及函数值域的求法，其中利用判别式法构造出一个关于b，c的方程组，求出b，c的值是解答本题的关键．