Question

已知函数的值域是[-1，4]，则a²b的值是    ．

Answer 1

【答案】分析：由题意f（x）的定义域为R，设y=，将原函数式化成 yx²-ax+y-b=0，利用此方程有实数解，可采用判别式法求值域，从而求出a，b的值即可．
解答：解：因为，设y=，
所以 yx²-ax+y-b=0，（1）
当y不等于0时，因关于x的一元二次方程（1）有解，所以
△=a²-4y（y-b）≥0，即4y²-4by-a²≤0，
由题意知，y₁=-1，y₂=4是一元二次方程4y²-4by-a²=0的两个解，
所以，4+4b-a²=0，（2）
64-16b-a²=0，（3）
由（2），（3）解得 a²=16，b=3，
因此，a²b=48．
故答案为：48．
点评：本题考查函数的值域、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想、化归与转化思想．属于基础题．