Question

已知α，β∈(0.

π

2

)，

tan α 2

1-tan2 α 2

=

3

2

，且2sinβ=sin（α+β），则β的值为（　　）

• A．

  π

  6

• B．

  π

  4

• C．

  π

  3

• D．

  5π

  12

Answer 1

分析：利用二倍角的正切可求得tanα，继而可求得sinα与cosα，再利用：两角和与差的正弦即可求得β的值．

解答：解：∵α∈（0，

π

2

），

tan α 2

1-tan2 α 2

=

1

2

tanα=

3

2

，
∴α=

π

3

；
∴sinα=

3

2

，cosα=

1

2

；
∵2sin β=sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=

3

2

cosβ+

1

2

sinβ，
∴

3

2

sin β=

3

2

cosβ，
∴tanβ=

3

3

，又β∈（0，

π

2

），
∴β=

π

6

．
故选A．

点评：本题考查二倍角的正切，考查同角三角函数间的基本关系与两角和与差的正弦，考查转化思想与运算能力，属于中档题．