Question

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过原点，且两条渐近线与以点A(0，

2

)为圆心，1为半径的圆相切，双曲线C的一个焦点与点A关于直线y=x对称．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线l经过M（-2，0）和线段AB的中点，求直线l在y轴上截距b的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，
又该直线与圆x2+(y-

2

)2=1相切
所以 1=

|k×0- 2 |

k2+1

?k=±1
可设双曲线C的方程为

x2

a2

-

y2

a2

=1
又双曲线C的一个焦点为（

2

，0），
所以2a²=2?a²=1
所求双曲线C的方程为  x²-y²=1
（Ⅱ）由 

y=mx+1 x2-y2=1

得(1-m2)x2-2mx-2=0依题意

4m2+8(1-m2)＞0 2m 1-m2 ＜0 -2 1-m2 ＞0

?1＜m＜

2

线段AB的中点为(

m

1-m2

，

1

1-m2

)，直线l的方程y=

1

-2m2+m+2

(x+2)令x=0，得b=

2

-2m2+m+2

=

2

-2(m- 1 4 )2+ 17 8

因为m∈(1，

2

)，所以-2(m-

1

4

)2+

17

8

∈(-2+

2

，1)
所以 直线l在y轴上截距b∈(-∞，-2-

2

)∪(2，+∞)．