题目内容
（2012•安徽模拟）已知函数f(x)=
(a∈R)．
（I）若a=2，且f(x)=-
，求x的值；
（II）若f（x）为奇函数，求a的值；
（III）当a=5时，函数f（x）的图象是否存在对称中心，若存在，求其对称中心；若不存在，请说明理由．
| a×2x-1 |
| 1+2x |
（I）若a=2，且f(x)=-
3
| ||
| 2 |
（II）若f（x）为奇函数，求a的值；
（III）当a=5时，函数f（x）的图象是否存在对称中心，若存在，求其对称中心；若不存在，请说明理由．
分析：（I）把a=2代入方程f(x)=-
，再将其转化为指数方程，根据指数函数的性质解指数方程即可．
（II）根据题意求出函数的定义域是R，再由f（x）=-f（-x）列出方程，整理后利用对应项的系数相等，求出a的值．
（III）假设存在对称中心，设其坐标为（h，k），则对任意x∈R，有f（h+x）+f（h-x）=2k恒成立，将函数的解析式代入其中化简求出h，k的值，因而满足条件的实数h，k存在，即存在对称中心．
3
| ||
| 2 |
（II）根据题意求出函数的定义域是R，再由f（x）=-f（-x）列出方程，整理后利用对应项的系数相等，求出a的值．
（III）假设存在对称中心，设其坐标为（h，k），则对任意x∈R，有f（h+x）+f（h-x）=2k恒成立，将函数的解析式代入其中化简求出h，k的值，因而满足条件的实数h，k存在，即存在对称中心．
解答：解：（I）若a=2，则f(x)=
=
=2-
≥2-
=-1，
由于-
＜-1，故方程由f(x)=
=-
无实数解．
（II）由题意知，函数的定义域是R，
∵f（x）为奇函数，∴f（x）=-f（-x），
即
=-
，即
=-
，
解得a=1．
（III）当a=5时，f(x)=
．
假设函数f（x）的图象是否存在对称中心，设其坐标为（h，k），
则对任意x∈R，有f（h+x）+f（h-x）=2k恒成立，
即
+
=2k，
整理得，
，
解得
，
当a=5时，函数f（x）的图象存在对称中心，其对称中心为（0，2）．
| 2×2x-1 |
| 1+2x |
| 2×(2x+1)-3 |
| 1+2x |
| 3 |
| 1+2x |
| 3 |
| 1 |
由于-
3
| ||
| 2 |
| 2×2x-1 |
| 1+2x |
3
| ||
| 2 |
（II）由题意知，函数的定义域是R，
∵f（x）为奇函数，∴f（x）=-f（-x），
即
| a×2x-1 |
| 1+2x |
| a×2-x-1 |
| 1+2-x |
| a×2x-1 |
| 1+2x |
| a-2x |
| 1+2x |
解得a=1．
（III）当a=5时，f(x)=
| 5×2x-1 |
| 1+2x |
假设函数f（x）的图象是否存在对称中心，设其坐标为（h，k），
则对任意x∈R，有f（h+x）+f（h-x）=2k恒成立，
即
| 5×2x+h-1 |
| 1+2x+h |
| 5×2h-x-1 |
| 1+2h-x |
整理得，
|
解得
|
当a=5时，函数f（x）的图象存在对称中心，其对称中心为（0，2）．
点评：本题的考点是利用函数奇偶性求值，即利用奇（偶）函数的定义列出方程，化简后由对应项的系数相等求出参数的值，以及对称性问题的处理方法，注意题目中所应用的函数的思想，属于基础题．
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