题目内容

（2010•重庆三模）已知点O在平面△ABC中，且满足（
OA
•
AB
|
AB
|
-
OA
•
AC
|
AC
|
）2+（
OB
•
BA
|B
.
A
|
-
OB
• 
BC
|B
.
C
|
）2+（
OC
•
CA
|CA|
-
OC
•
CB
|
CB
|
）2=0，则点O是△ABC的（　　）
分析：作出如图的三角形，由于（
OA
•
AB
|
AB
|
-
OA
•
AC
|
AC
|
）2+（
OB
•
BA
|B
.
A
|
-
OB
• 
BC
|B
.
C
|
）2+（
OC
•
CA
|CA|
-
OC
•
CB
|
CB
|
）2=0，可以得出
OA
•
AB
|
AB
|
-
OA
•
AC
|
AC
|
=
OB
•
BA
|B
.
A
|
-
OB
• 
BC
|B
.
C
|
=
OC
•
CA
|CA|
-
OC
•
CB
|
CB
|
=0，由此结合向量的数量积对已知条件变形即可得出结论．
解答：解：作出如图的图形，由于（
OA
•
AB
|
AB
|
-
OA
•
AC
|
AC
|
）2+（
OB
•
BA
|B
.
A
|
-
OB
• 
BC
|B
.
C
|
）2+（
OC
•
CA
|CA|
-
OC
•
CB
|
CB
|
）2=0，
∴
OA
•
AB
|
AB
|
-
OA
•
AC
|
AC
|
=
OB
•
BA
|B
.
A
|
-
OB
• 
BC
|B
.
C
|
=
OC
•
CA
|CA|
-
OC
•
CB
|
CB
|
=0，
当
OA
•
AB
|
AB
|
-
OA
•
AC
|
AC
|
=0时，
即
|
OA
|•|
AB
|cos∠DAB
|
AB
|
=
|
OA
|•|
AC
|cos∠DAC
|
AC
|
，
∴∠DAB=∠DAC，
∴O点在三角形的角A平分线上；
同理，O点在三角形的角B，角C平分线上；
故点定O的一定是△ABC的内心．
故选C．
点评：本题考点是三角形的五心，考查了五心中内心的几何特征以及向量的加法与数乘运算，解答本题的关键是理解向量加法的几何意义，从而确定点的几何位置．
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