Question

13．已知数列{a_n}满足a₁=1，na_n=（n-1）a_n-1（n≥2），求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 由已知得a₁=1，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n-1}{n}$，n≥2，由此利用累乘法能求出数列{a_n}的通项公式．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=1，na_n=（n-1）a_n-1（n≥2），
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n-1}{n}$，n≥2，
∴${a}_{n}={a}_{1}×\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}×\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}×…×\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$
=1×$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}$×…×$\frac{n-1}{n}$=$\frac{1}{n}$．
故数列{a_n}的通项公式为a_n=$\frac{1}{n}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，是基础题，解题时要注意累乘法的合理运用．