Question

如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线排l₁，在路南侧沿直线排l₂，现要在矩形区域ABCD内沿直线将l₁与l₂接通．已知AB=60m，BC=60

3

m，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF部分的排管费用为每米2万元，设EF与AB所成角为α．矩形区域内的排管费用为W．
（1）求W关于α的函数关系式；
（2）求W的最小值及相应的角α．

Answer 1

分析：（1）过E作EM⊥BC得到角α，解直角三角形把MF用含α的代数式表示，把AE，FC也用含α的代数式表示，然后即可得到W关于α的函数关系式；
（2）根据导数研究函数最值的方法可求出矩形区域ABCD内的排管费用为W的最小值．

解答：解：（1）如图，
过E作EM⊥BC，垂足为M，由题意得∠MEF=α(0≤α≤

π

3

)，
故有MF=60tanα，EF=

60

cosα

，AE+FC=60

3

-60tanα，
所以W=(60

3

-60tanα)×1+

60

cosα

×2=60

3

-60×

sinα-2

cosα

．
（2）设f(α)=

sinα-2

cosα

，(0≤α≤

π

3

)
则f′(α)=

cosαcosα-(-sinα)(sinα-2)

cos2α

=

1-2sinα

cos2α

．
令f'（α）=0得1-2sinα=0，即sinα=

1

2

，得α=

π

6

．
列表

α	(0， π 6 )	π 6	( π 6 ， π 3 )
f'（α）	+	0	-
f（α）	单调递增	极大值	单调递减

所以当α=

π

6

时有f(α)max=-

3

，此时有．Wmin=120

3

答：排管的最小费用为120

3

万元，相应的角α=

π

6

．

点评：本题考查了根据实际问题选择函数模型，考查了利用导函数求函数的最值，对于实际问题要注意的是需要注明具有实际意义的函数定义域，正确的建模是解答该题的关键，是中档题．