Question

在平面直角坐标系中，从曲线上一点做轴和轴的垂线，垂足分别为，点（为常数），且（）

（1）求曲线的轨迹方程，并说明曲线是什么图形；

（2）当且时，将曲线绕原点逆时针旋转得到曲线，曲线与曲线四个交点按逆时针依次为，且点在一象限

①证明：四边形为正方形； ②若，求值．

Answer 1

（1）设，所以，由得

①当时，曲线是焦点在轴的双曲线；

②当时，曲线是焦点在轴的椭圆；

③当时，曲线是圆；

④当时，曲线是焦点在轴的椭圆；                          ………6分

（2）①当且时，曲线是椭圆，曲线方程为,设

所以两曲线四个交点坐标，所以四边形为正方形；  ………9分

②设，当时，且

解得．                                                       ………12分