Question

已知函数f（x）=x²+x-1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），f′（x）是f（x）的导数，设a₁=1，an+1=an-

f(an)

f′(an)

（n=1，2，…）．
（1）求α，β的值；
（2）证明：对任意的正整数n，都有a_n＞α；
（3）记bn=ln

an-β

an-α

（n=1，2，…），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x²+x-1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α＞β）可求得α=

-1+ 5

2

，β=

-1- 5

2

；
（2）由f'（x）=2x+1，an+1=an-

a 2 n +an-1

2an+1

=an-

1 2 an(2an+1)+ 1 4 (2an+1)- 5 4

2an+1

=

1

4

(2an+1)+

5 4

2an+1

-

1

2

，由基本不等式可知a2≥

5 -1

2

＞0，依此有an＞

5 -1

2

=α
（3）an+1-β=

(an-β)2

2an+1

，an+1-α=

(an-α)2

2an+1

，bn+1=2bn，数列{b_n}是等比数列，由其前n项和公式求解．

解答：解：（1）∵f（x）=x²+x-1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），
∴α=

-1+ 5

2

，β=

-1- 5

2

；
（2）f'（x）=2x+1，an+1=an-

a 2 n +an-1

2an+1

=an-

1 2 an(2an+1)+ 1 4 (2an+1)- 5 4

2an+1

=

1

4

(2an+1)+

5 4

2an+1

-

1

2

，
∵a₁=1，
∴有基本不等式可知a2≥

5 -1

2

＞0（当且仅当a1=

5 -1

2

时取等号），
∴a2＞

5 -1

2

＞0，同样a3＞

5 -1

2

，an＞

5 -1

2

=α（n=1，2），

（3）an+1-β=an-β-

(an-α)(an-β)

2an+1

=

an-β

2an+1

(an+1+α)
而α+β=-1，即α+1=-β，an+1-β=

(an-β)2

2an+1

，
同理an+1-α=

(an-α)2

2an+1

，bn+1=2bn，
又b1=ln

1-β

1-α

=ln

3+ 5

3- 5

=2ln

3+ 5

2

sn=2(2n-1)ln

3+ 5

2

点评：本题主要考查函数与数列的综合运用，还考查了数列的递推与前n项和公式．