题目内容

求证：
C
0
n
+3
C
1
n
+5
C
2
n
+…+(2n+1)
C
n
n
=(n+1)2n．
分析：根据题意，设左式为Sn，即设Sn=
C
0
n
+3
C
1
n
+5
C
2
n
+…+(2n+1)
C
n
n
为①式，由二项式系数的性质并将①式倒序可得Sn=(2n+1)
C
0
n
+(2n-1)
C
1
n
+…+3
C
n-1
n
+
C
n
n
②，将①、②相加可得2Sn=(2n+2)(
C
0
n
+
C
1
n
+…+
C
n-1
n
+
C
n
n
)=2(n+1)•2n，对其整理变形可得证明．
解答：证明：设Sn=
C
0
n
+3
C
1
n
+5
C
2
n
+…+(2n+1)
C
n
n
   ①
把①式右边倒转过来得Sn=(2n+1)
C
n
n
+(2n-1)
C
n-1
n
+…+3
C
1
n
+
C
0
n
，
又由
C
m
n
=
C
n-m
n
可得Sn=(2n+1)
C
0
n
+(2n-1)
C
1
n
+…+3
C
n-1
n
+
C
n
n
②
①+②得  2Sn=(2n+2)(
C
0
n
+
C
1
n
+…+
C
n-1
n
+
C
n
n
)=2(n+1)•2n，
∴Sn=(n+1)•2n，
即：
C
0
n
+3
C
1
n
+5
C
2
n
+…+(2n+1)
C
n
n
=(n+1)2n，
原等式得证．
点评：本题考查二项式系数性质的运用，解题的关键是要充分利用二项式系数的性质，如
C
m
n
=
C
n-m
n
，并结合数列的知识进行分析计算．
练习册系列答案
相关题目
化简：
C
0
n
-3
C
1
n
+32
C
2
n
-33
C
3
n
+…+(-3)n
C
n
n
=
（-2）n
（-2）n
．
（Ⅰ）已知k∈N，n∈N*，且 k≤n，求证：
n+1
k+1
C
k
n
=
C
k+1
n+1
；
（Ⅱ） 若（n+1）(
C
0
n
+
1
2
C
1
n
+
1
3
C
2
n
+…+
1
n+1
C
n
n
)=31，试求n的值，并求（1+x）2n的展开式中系数最大的项．
（1）求证：2n+2•3n+5n-4能被25整除．
（2）求证：
C
0
n
-
1
2
C
1
n
+
1
3
C
2
n
-
1
4
C
3
n
+…+(-1)n•
1
n+1
C
n
n
=
1
n+1
．
求证：
C0n
+3
C1n
+5
C2n
+…+(2n+1)
Cnn
=(n+1)2n．

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