Question

1．已知函数f（x）=-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx．
（1）求f（$\frac{13}{6}$π）的值；
（2）设α∈（0，π），f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{1}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求sinα的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式和和差角（辅助角）公式，将函数解析式化为：f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，再将x=$\frac{13}{6}$π代入，结合诱导公式和特殊角的三角函数值，可得答案．
（2）由f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{1}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{4}$，进而求出利用同角三角函数的基本关系公式，求cos（α+$\frac{π}{3}$），再由差角正弦公式，可得答案．

解答 解：（1）∵f（x）=-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx=-$\sqrt{3}$×$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2x=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴f（$\frac{13}{6}$π）=sin（2×$\frac{13}{6}$π+$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（$\frac{14π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（$\frac{2π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=0，
（2）∵f（$\frac{α}{2}$）=sin（α+$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{4}$，
又由α∈（0，π），得：α+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$），
故cos（α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
故sinα=sin[（α+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{3}$]=sin（α+$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$-cos（α+$\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{15}}{4}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1+3\sqrt{5}}{8}$．

点评 本题考查二倍角的正弦和余弦公式及运用，考查三角函数值的求法，注意周期的运用，考查运算能力，属于中档题．