Question

13．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x≤0}\\{3{x}^{2}-6x+1，x＞0}\end{array}\right.$．
（Ⅰ）画出函数f（x）的图象，结合图象，写出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）结合所画图形，讨论直线y=m与函数f（x）的图象的交点个数．

Answer 1

分析 （I）根据分段函数图象分段画的原则，结合一次函数和二次函数的图象和性质，可得函数f（x）的图象，进而根据函数图象的升降得到函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）结合所画图形，分当m＜-2，或m＞1时，当m=-2，或m=1时和当-2＜m＜1时，三种情况可讨论直线y=m与函数f（x）的图象的交点个数．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x≤0}\\{3{x}^{2}-6x+1，x＞0}\end{array}\right.$．
画出函数f（x）的图象如下图所示：

由图可得：函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0]，[1，+∞），
函数f（x）的单调递减区间为[0，1]，
（Ⅱ）结合所画图形，可得：
当m＜-2，或m＞1时，直线y=m与函数f（x）的图象有一个交点；
当m=-2，或m=1时，直线y=m与函数f（x）的图象有两个交点；
当-2＜m＜1时，直线y=m与函数f（x）的图象有三个交点；

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数图象，图象的交点个数，函数的单调区间，是函数图象与性质的综合应用，难度中档．