Question

已知函数f（x）=x²-（2a+1）x+alnx
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调增区间；
（2）当a＞

1

2

时，求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）先求出导函数，根据x=1时f（x）取得极值求出a=2；再令导函数大于0求出增区间，导函数小于0求出减区间即可；
（2）先求出导函数f'（x），然后讨论a研究函数在[1，e]上的单调性，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值．

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x²-3x+lnx，
令f′(x)=

2x2-3x+1

x

＞0，解得x＞1或x＜

1

2

．
则函数f（x）的单调增区间为(0，

1

2

)，(1，+∞)
（2）f（x）=x²-（2a+1）x+alnx，
令f′(x)=2x-(2a+1)+

a

x

=

2x2-(2a+1)x+a

x

=

(2x-1)(x-a)

x

=0
①当

1

2

＜a≤1，x∈[1，e]，f'（x）＞0，f（x）单调增．f（x）_min=g（1）=-2a．
②当1＜a＜e，x∈（1，a），f'（x）＜0，f（x）单调减．，x∈（a，e），f'（x）＞0，f（x）单调增．f(x)min=f(a)=-a2-a+alna
③当a≥e，x∈[1，e]，f'（x）＜0，f（x）单调减，f(x)min=f(e)=e2-(2a+1)e+a
故函数f（x）在区间[1，e]上的最小值f(x)min=

-2a， 1 2 ＜a≤1 -a2-a+alna，1＜a＜e e2-(2a+1)e+a，a≥e

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数求闭区间上函数的最值，属于中档题．