Question

（本题满分20分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题10分）

已知是直线上的个不同的点（，、均为非零常数），其中数列为等差数列.

（1）求证：数列是等差数列；

（2）若点是直线上一点，且，求证: ；

（3） 设，且当时，恒有（和都是不大于的正整数, 且）.试探索：在直线上是否存在这样的点，使得成立？请说明你的理由.

Answer 1

（本题满分20分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题10分）

解：（1）证：设等差数列的公差为,

因为，

所以为定值，即数列也成等差数列.

（2）证：因为点、和都是直线上一点，故有()

于是，

                 

令，，则有.

（3）（文科）假设存在点满足要求,

则有，

又当时，恒有，则又有

，

所以

又因为数列成等差数列，

于是，

所以，

故，同理，且点在直线上（是、的中点），即存在点满足要求.

（3）（理科）

提出命题：（在本题大前提下）若点满足，则系数数列的和是点在直线上的充要条件.

证明：设，由条件，

    先证充分性：“当时，点在直线上”.

因为，

故

而（），所以

 

 

当时，即有，即点在直线上.

再证必要性：“若点在直线上，则.”

因为，

故

而因为（），所以

 

 

    又因为点在直线上，所以满足，故.

补充：由以上证明进一步可知，对于直线上任一点，若满足，则都有.