Question

【题目】已知椭圆：的一个焦点，点在椭圆上．

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)直线平行于直线（坐标原点），且与椭圆交于，两个不同的点，若为钝角，求直线在轴上的截距的取值范围．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ； (Ⅱ)。

【解析】

(Ⅰ)由焦点坐标确定出c的值，根据椭圆的性质列出a与b的方程，再将M点坐标代入椭圆方程列出关于a与b的方程，联立求出a与b的值，确定出椭圆方程即可；

(Ⅱ)设直线l方程为，A（x1，y1）、B（x2，y2），联立l与椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出x1+x2与x1x2，根据∠AOB为钝角，得到0，即x1x2+y1y2<0，即可确定出m的范围；

(Ⅰ)由已知，则 ①

又点在椭圆上，

所以 ②

由①②解得（舍去），．

故椭圆的标准方程为．

(Ⅱ)由直线平行于得直线的斜率为，又在轴上的截距，

故的方程为．

由得，又线与椭圆交于，两个不同的点，

设，，则，．

所以，于是．

为钝角等价于，且，则，

即，又，

所以的取值范围为．