Question

已知函数f（x）=lnx+a（x+1）．
（I）讨论函数f（x）的单调性；（II）求函数f（x）在[1，2]上的最大值．

Answer 1

分析：（I）函数的定义域（0，+∞）分a≥0，a＜0两种情况讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性
（II）令f′（x）=0?x=-

1

a

，分①-

1

a

≥2；②-

1

a

≤1；③1＜-

1

a

＜2 三种情况讨论函数在区间上的单调性，以确定函数的最大值．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

1

x

+a(x＞0)，
（1）a≥0时，函数f（x）在（0，+∞）单调递增；
（2）a＜0时，函数f（x）在(0，-

1

a

)单调递增；(-

1

a

，+∞)单调递减．（5分）
（Ⅱ）（1）a≥-

1

2

时，函数f（x）在[1，2]上单调递增，最大值为3a+ln2；
（2）a≤-1时，函数f（x）在[1，2]上单调递减，最大值为2a；
（3）-1＜a＜-

1

2

时，函数f（x）在(1，-

1

a

)单调递增；(-

1

a

，2)单调递减，最大值为a-1+ln(-

1

a

)．（12分）

点评：本题主要考查了导数的应用：利用导数求函数的单调区间及求函数在闭区间[a，b]上的最值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数值f（a），f（b） 比较而得到．要注意分类讨论思想在解题中的应用．