Question

【题目】在如图（1）所示的四边形中，，，，.将沿折起，使二面角为直二面角（如图（2）），为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

(1)由题意可得平面，故 . 以为坐标原点，分别以，，为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，明确平面BOP的法向量与AD的方向向量，利用二者共线，即可证得；

（2）求出平面的法向量，利用法向量的夹角余弦即可得到二面角的余弦值.

（1）证明：由题，知，.

又∵二面角为直二面角，∴平面.

又∵平面，∴.

以为坐标原点，分别以，，为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系.

∵，，，

∴由平面几何知识，可得，，，，.

∵为的中点，∴.

设平面的法向量为.

∴即

令，则.∴.

又∵，∴.

∴平面.

（2）解：设为中点，连接，如图.

∵平面，平面，

∴平面平面，交线为.

又∵为等边三角形，∴.

又∵平面.∴平面.∴是平面的法向量.

∵，

∴.

∵，

∴二面角的余弦值为.