Question

用单调性定义判断函数f（x）=

2x+1

x-2

在区间（2，+∞）上的单调性，并求f（x）在区间[3，6]上的最值．

Answer 1

分析：设2＜x₁＜x₂，通过作差比较f（x₁）与f（x₂）的大小，根据单调性的定义可作出判断，利用函数单调性即可求出函数f（x）在在区间[3，6]上的最值．

解答：解：设2＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

2x1+1

x1-2

-

2x2+1

x2-2

=

5(x2-x1)

(x1-2)(x2-2)

，
∵2＜x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，x₁-2＞0，x₂-2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=

5(x2-x1)

(x1-2)(x2-2)

＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
∴函数f（x）在区间（2，+∞）上是减函数．  
∴函数f（x）在区间[3，6]上是减函数．
∴f（x）的最大值为f（3）=7，
f（x）的最小值为f（6）=

13

4

．

点评：本题考查函数单调性的判断及其应用，属基础题，定义是证明判断函数单调性的基本方法．