Question

若不等式a（2x²+y²）≥x²+2xy对任意非零实数x，y恒成立，则实数a的最小值为________．

Answer 1

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分析：由题意可得：原不等式恒成立转化为不等式（2a-1）x²-2xy+ay²≥0对于任意非零实数x，y恒成立，即不等式（2a-1）（ ）²-2•+a≥0对于任意非零实数x，y恒成立，然后利用一元二次不等式恒成立的有关知识解决问题即可．
解答：由题意可得：不等式x²+2xy≤a（2x²+y²）对于任意非零实数x，y恒成立，
即不等式（2a-1）x²-2xy+ay²≥0对于任意非零实数x，y恒成立，
即不等式（2a-1）（）²-2•+a≥0对于任意非零实数x，y恒成立，
设t=，所以（2a-1）t²-2t+a≥0对于一切t∈（-∞，0）∪（0，+∞）恒成立，
设f（t）=（2a-1）t²-2t+a，t∈（-∞，0）∪（0，+∞），
①a=时，显然不符合题意，故舍去．
②当a≠时，函数的对称轴为t₀=，
所以由题意可得：，解得a≥1．
故答案为1．
点评：本题考查的是不等式与恒成立的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了恒成立的思想以及整体代换的技巧．