Question

已知函数f（x）=x³+ax²-（2a+3）x+a²（a∈R）．
（1）若函数f（x）在区间（1，+∞）上有极小值点，求实数a的取值范围；
（2）若当x∈[-1，1]时，f（x）＞0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求出f′（x）=0的值，使其一个值在（1，+∞），建立不等关系，解之即可求出实数a的取值范围；
（2）原题等价于使x∈[-1，1]时，（f（x））_min＞0恒成立，讨论a，再结合函数的单调性求出函数的最小值，使最小值恒大于0即可．

解答：解：（1）f'（x）=3x²+2ax-（2a+3）=（3x+2a+3）（x-1）
令f′（x）=0，得x=1，或x=-

2a+3

3

，
使函数f（x）在区间（1，+∞）上有极小值点，
则-

2a+3

3

＞1，解得：a＜-3．  （6分）
（2）由题意知，即使x∈[-1，1]时，（f（x））_min＞0．
①当-

2a+3

3

≥1，即a≤-3时，f（x）在x∈[-1，1]上单调递增，
∴（f（x））_min=f（-1）=a²+3a+2＞0，得a＞-1或a＜-2，
由此得：a≤-3；
②当-1＜-

2a+3

3

＜1，即-3＜a＜0，f（x）在[-1，-

2a+3

3

]为增函数，在[-

2a+3

3

，1]上为减函数，
所以（f（x））_min=min{f（-1），f（1）}，
得

f(-1)=a2+3a+2＞0 f(1)=a2-a-2＞0

?a＞2或a＜-2
由此得-3＜a＜-2；
③当-

2a+3

3

≤-1，即a≥0，f（x）在x∈[-1，1]上为减函数，所以（f（x））_min=f（1）=a²-a-2＞0
得a＞2或a＜-1，由此得a＞2；
由①②③得实数a的取值范围为a＞2或a＜-2．（15分）

点评：本题考查函数恒成立问题和已知函数极值点求参数的范围，求参数范围，注意用函数的思想，以及讨论的思想，化难为易，此题综合性较强．