Question

已知椭圆的离心率为，F为椭圆的右焦点，M，N两点在椭圆C上，且，定点A（-4，0）．
（1）若λ=1时，有，求椭圆C的方程；
（2）在条件（1）所确定的椭圆C下，当动直线MN斜率为k，且设s=1+3k²时，试求关于S的函数表达式f（s）的最大值，以及此时M，N两点所在的直线方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求椭圆C的方程，先根据条件λ=1且求出M点的坐标，再根据条件求出c的值．
最后根据离心率为分别求出a与b的值．
（2）欲求关于S的函数表达式f（s）的最大值，先联系直线方程与椭圆的方程求的表达式，根据函数最值的相关知识求出最大值，最后求得直线MN的方程．
解答：解：（1）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），F（c，0），
则，
又λ=1，有．
故，
又，
所以x₁²=x₂²，结合x₁+x₂=2c≠0，可知x₁=x₂=c．
所以，
从而，将代入得c=2．
故椭圆C的方程为．
（2）．
设直线MN的直线方程为y=k（x-2）（k≠0），联立，得（1+3k²）y²+4ky-2k²=0，
所以，
记，
则，
所以，当S=4即k=±1时取等号．
所以，有最大值，最大值为，此时直线MN的方程为x±y-2=0．
点评：本题考查平面向量的相关知识以及直线与圆锥曲线的知识．