Question

若两个正实数x，y满足

1

x

+

4

y

=1，且不等式x+

y

4

＜m2-3m有解，则实数m的取值范围是（　　）

• A、（-1，4）
• B、（-∞，-1）∪（4，+∞）
• C、（-4，1）
• D、（-∞，0）∪（3，+∞）

Answer 1

分析：将不等式x+

y

4

＜m2-3m有解，转化为求∴（x+

y

4

）_min＜m²-3m，利用“1”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解出关于m的一元二次不等式的解集即可得到答案．

解答：解：∵不等式x+

y

4

＜m2-3m有解，
∴（x+

y

4

）_min＜m²-3m，
∵x＞0，y＞0，且

1

x

+

4

y

=1，
∴x+

y

4

=（x+

y

4

）（

1

x

+

4

y

）=

4x

y

+

y

4x

+2≥2

4x y • y 4x

+2=4，
当且仅当

4x

y

=

y

4x

，即x=2，y=8时取“=”，
∴（x+

y

4

）_min=4，
故m²-3m＞4，即（x+1）（x-4）＞0，
解得x＜-1或x＞4，
∴实数m的取值范围是（-∞，-1）∪（4，+∞）．
故选：B．

点评：本题考查了基本不等式在最值中的应用，不等式的有解问题．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值．对于不等式的有解问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解．属于中档题．