求函数f(x)=ex的切线与坐标轴围成的三角形面积的最大值. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

求函数f(x)=e^x(x≤1)的切线与坐标轴围成的三角形面积的最大值.

试题答案

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解：∵过函数图像上任意一点(t,e^t)的切线方程是y-e^t=e^t(x-t)(t≤1),

∴切线在x轴和y轴上的截距分别为t-1,e^t(1-t).∴切线与坐标轴围成的三角形面积

s(t)=e^t(1-t)2(t≤1). (5分)s′(t)=e^t(t2-1)(t≤1),由s′(t)=0得t=±1.

∴当t＜-1时,s′(t)＞0,s(t)为增函数；当-1＜t＜1时,s′(t)＜0,s(t)为减函数.

∵t≤1,s(-1)=,s(1)=0所以函数f(x)；=ex(x≤1)的切线与坐标轴围成的三角形面积的最大值为.

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已知函数f(x)=

(a≥0)．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）试讨论函数f（x）的单调区间．

已知函数f(x)=ex-

x2，其导函数为f′（x）．
（1）求f′（x）的最小值；
（2）证明：对任意的x₁，x₂∈[0，+∞）和实数λ₁≥0，λ₂≥0且λ₁+λ₂=1，总有f（λ₁x₁+λ₂x₂）≤λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）；
（3）若x₁，x₂，x₃满足：x₁≥0，x₂≥0，x₃≥0且x₁+x₂+x₃=3，求f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）的最小值．

设函数f(x)=ex-

x2-x．
（Ⅰ）若k=0，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若k=1，讨论函数f（x）的单调性．

（10分）要求考生从下面两个题中任选一题，多选者按第一选项给分。

（1）求证：当x>－1时，不等式ln(x+1)<x+1≤e^x成立。

（2）求函数f(x)=e^x(1－x²)的单调递增区间。