Question

 （10分）要求考生从下面两个题中任选一题，多选者按第一选项给分。

  （1）求证：当x>－1时，不等式ln(x+1)<x+1≤e^x成立。

                                                          

                                                          

  （2）求函数f(x)=e^x(1－x²)的单调递增区间。

                                                          

                                                          

Answer 1

（10分）（1）令g(x)=x+1- ln(x+1),则

g′(x) =1- =

当x∈（－1，0）时，g′(x) <0，g(x)是减函数

当x∈（0，+∞）时，g′(x)>0，g(x)是增函数

∴g (x)的最小值为g(0)=1

∴g (x) ≥1> 0 

∴x+1> ln(x+1)                       5分

令f(x)=e^x-x-1，则

              f′(x)=e^x-1

当x∈（-1，0）时，f′(x) <0，f(x)是减函数

当x∈（0，+∞）时，f′(x)> 0，f(x)是增函数

∴f(x)的最小值为f(0)=0

∴f(x)≥0

∴e^x≥x+1

∴ln(x+1)<x+1≤e^x                      10分

（2）解：f′(x)=e^x(1－x²)+(－2x)e^x

                    =e^x(1－2x－x²)                      4分

               令 1－2x－x²≥0

               得－1－≤x≤－1+                  8分

           ∴ 函数的单调区间为[－1－，－1+]     10分