Question

如图，在长、宽、高分别为AB=3，AD=2，AA₁=1的长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，
（1）单位向量共有多少个？
（2）试写出模为

5

的所有向量；
（3）试写出与

AB

相等的所有向量；
（4）试写出

AA1

的相反向量．

Answer 1

分析：（1）根据单位向量的定义及已知条件可得答案；
（2）通过计算可得答案；
（3）由相等向量的定义可得答案；
（4）由相反向量的定义可得答案；

解答：解：（1）由于长方体的高为1，
所以长方体4条高所对应的向量

AA1

、

A1A

、

BB1

、

B1B

、

CC1

、

C1C

、

DD1

、

D1D

共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．
（2）由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为

5

，
故模为

5

的向量有

AD1

、

D1A

、

A1D

、

DA1

、

BC1

、

C1B

、

B1C

、

CB1

，共8个．
（3）与向量

AB

相等的所有向量（除它自身之外）共有

A1B1

、

DC

及

D1C1

，共3个．
（4）向量

AA1

的相反向量为

A1A

、

B1B

、

C1C

、

D1D

，共4个．

点评：本题考查相等向量、相反向量的定义及向量的有关概念，属基础题．