Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）证明：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函数的单调增区间为，单调减区间为；（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）不等式等价于，由（Ⅰ） ①， 所以原不等式等价于，构造求最值即可.

试题解析:（Ⅰ）函数的定义域为，

则，解得，所以．此时，，由得，得 ，

所以函数的单调增区间为，单调减区间为．

（Ⅱ）不等式等价于，由（Ⅰ）在上的最大值为，

所以 ①，

令，所以，，所以，

当时，，所以在 上单调递增，所以，所以在 上单调递增，所以，即，

因为，所以，

所以，时，．

点晴：本题主要考查函数单调性，及不等式的证明问题.要求单调性，求导比较导方程的根的大小，解不等式可得单调区间，要证明不等式恒成立问题可转化为构造新函数证明新函数单调，只需要证明其导函数大于等于0（或者恒小于等于0即可），要证明一个不等式，我们可以先根据题意构造新函数，求其值最值即可.这类问题的通解方法就是：划归与转化之后，就可以假设相对应的函数，然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值，图像与性质，进而求解得结果.