题目内容
已知F1、F2是椭圆
的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，点B与点A关于原点对称，AF2﹣F1F2=0，若椭圆的离心率等于
（Ⅰ）求直线AB的方程；
（Ⅱ）若△ABF2的面积等于4
，求椭圆的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，椭圆上是否存在点M使得△MA的面积等于8
？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，点B与点A关于原点对称，AF2﹣F1F2=0，若椭圆的离心率等于（Ⅰ）求直线AB的方程；
（Ⅱ）若△ABF2的面积等于4
，求椭圆的方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，椭圆上是否存在点M使得△MA的面积等于8
？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）由
知AF2⊥F1F2
∵椭圆离心率等于
，
所以c=
a，b2=
a2，
故椭圆方程可以写成x2+2y2=a2，
设A（c，yA），代入方程得yA=
a，
所以A（
a，
a），
故直线AB的斜率k=
，
因此直线AB的方程为y=
（Ⅱ）连接AF1、BF1，由椭圆的对称性可知S△AEF1=S△AEF1=S△AF1F2，
所以
故椭圆方程为
（Ⅲ）由（Ⅱ）可以求得|AB|=2|OA|=2
=4
假设在椭圆上存在点M使得△MAB的面积等于8
，
设点M到直线AB的距离为d，则应有
，
所以d=4
设M所在直线方程为
x﹣2y±4
=0
与椭圆方程联立消去x得方程4y2±8
y+32=0
即y2±2
y+8=0，
∵△=（±2
）2﹣4×8＜0
故在椭圆上不存在点M使得△MAB的面积等于8
知AF2⊥F1F2∵椭圆离心率等于
，所以c=
a，b2=a2，故椭圆方程可以写成x2+2y2=a2，
设A（c，yA），代入方程得yA=
a，所以A（
a，a），故直线AB的斜率k=
，因此直线AB的方程为y=
（Ⅱ）连接AF1、BF1，由椭圆的对称性可知S△AEF1=S△AEF1=S△AF1F2，
所以
故椭圆方程为
（Ⅲ）由（Ⅱ）可以求得|AB|=2|OA|=2
=4假设在椭圆上存在点M使得△MAB的面积等于8
，设点M到直线AB的距离为d，则应有
，所以d=4
设M所在直线方程为
x﹣2y±4=0与椭圆方程联立消去x得方程4y2±8
y+32=0即y2±2
y+8=0，∵△=（±2
）2﹣4×8＜0故在椭圆上不存在点M使得△MAB的面积等于8
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