Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F 为棱AD、AB的中点。
（Ⅰ）求证：EF∥平面CB₁D₁；
（Ⅱ）求证：平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．

Answer 1

证明：（Ⅰ）连结BD，
在正方体中，对角线，
又因为E、F为棱AD、AB的中点， 所以EF∥BD， 所以，
又B₁D₁平面，平面，
所以EF∥平面。
（Ⅱ）因为在长方体中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
而B₁D₁平面A₁B₁C₁D₁，
所以AA₁⊥B₁D₁，
又因为在正方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，所以B₁D₁⊥平面CAA₁C₁，
又因为B₁D₁平面CB₁D₁，
所以，平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．