Question

7．如图所示，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，D为AB边的中点，且CC₁=2AB．
（Ⅰ）求证：AC₁∥平面CDB₁．
（Ⅱ）求点B到平面B₁CD的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接BC₁交B₁C于点O，连接DO，由三角形中位线的性质得DO∥AC₁，从而证明AC₁∥平面CDB₁，
（Ⅱ）等体积法，三棱锥D-CBB₁的体积和三棱锥B₁-CBD体积相等，BB₁为三棱锥D-CBB₁的高，△CBB₁是直角三角形，面积可求，体积可求，再求得${S}_{△{B}_{1}CD}$，即可得解点B到平面B₁CD的距离．

解答 证明：（Ⅰ）证明：连接BC₁交B₁C于点O，连接DO．
则O是BC₁的中点，DO是△BAC₁的中位线．
所以DO∥AC₁．
因为DO?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
所以AC₁∥平面CDB₁．
（Ⅱ）解：因为CC₁⊥平面ABC，
所以BB₁⊥平面ABC．
所以BB₁为三棱锥D-CBB₁的高．
V_D-CBB1=V_B1-CBD=$\frac{1}{3}$S_△BCD•BB1=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}×4=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
所以三棱锥D-CBB₁的体积为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
因为：B₁D=$\sqrt{{B}_{1}{B}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{17}$，CD=$\sqrt{C{A}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$，B₁C=$\sqrt{B{C}^{2}+B{{B}_{1}}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
由余弦定理可求cos∠B₁CD=$\frac{20+3-17}{2×2\sqrt{5}×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{15}}{10}$，sin∠B₁CD=$\frac{\sqrt{85}}{10}$，
则可得：${S}_{△{B}_{1}CD}$=$\frac{1}{2}$×B₁C×CD×sin∠B₁CD=$\frac{\sqrt{51}}{2}$，
所以，点B到平面B₁CD的距离d=3×$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{51}}{2}}$=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$．

点评 本题考查面面垂直的判定、线面平行的判定，用等体积法求三棱锥的体积，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．